平成27年春期試験問題 午前Ⅰ 問1

ATM(現金自動預払機)が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し,統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで,待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い,平均待ち時間にはサービス時間を含まず,ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。

〔条件〕
  • 統合後の平均サービス時間:Ts
  • 統合前のATMの利用率:両支店ともρ
  • 統合後の利用者数:統合前の両支店の利用者数の合計

  • ρ1-ρ×Ts
  • ρ1-2ρ×Ts
  • 1-ρ×Ts
  • 1-2ρ×Ts
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分野:テクノロジ系
中分類:基礎理論
小分類:応用数学
解説
ATMにおける平均サービス時間は、1人の顧客がATMを使用する平均時間のことです。また、利用率とは単位時間あたりにATMが使用されている割合です。例えば、1人の顧客が平均して2分間ATMを使用し、1時間当たり15人にサービスを提供した場合を仮定すると、利用率は「(2分×15人)÷60分=0.5」となります。

統合前の両支店に設置してあるATM2台の平均サービス時間は同じですから、利用者数が多いほど利用率は高くなると考えられるところ、両支店の利用率は同じ"ρ(ロー)"なので、利用者数は同じであったことがわかります。統合後の支店では、平均サービス時間が従前と同じであるATM1台で2倍の利用者を処理することになるので、利用率は単純に2倍の"2ρ"になります。

平均待ち時間は、処理待ち行列に並んでからサービス(処理)が開始されるまでの待ち時間の平均であり、M/M/1の待ち行列モデルでは、平均待ち時間を以下の公式で計算します。

 利用率1-利用率×平均サービス時間

したがって、この式の利用率の部分に"2ρ"を当てはめた「エ」が適切となります。

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